La teoría de Sommerfeld de la conducción eléctrica y térmica
Los cuerpos de algunas sustancias tienen la propiedad de conducir el calor o la electricidad. Los que tienen esa propiedad se llaman conductores; los que no, aisladores. Estas propiedades son mensurables y sus medidas se llaman, respectivamente, conductividad eléctrica y conductividad térmica.
En los primeros esfuerzos por explicar la estructura electrónica de los metales, los científicos esgrimieron las propiedades de la buena conductividad térmica y eléctrica para apoyar la teoría de que los metales se componen de átomos ionizados, cuyos electrones libres forman un "mar" homogéneo de carga negativa.
La atracción electrostática entre los iones positivos del metal y los electrones libres, se consideró la responsable del enlace entre los átomos del metal. Así, se pensaba que el libre movimiento de los electrones era la causa de su alta conductividad eléctrica y térmica. La principal objeción a esta teoría es que en tal caso los metales debían tener un calor específico superior al que realmente tienen.
En 1928, el físico alemán Arnold Sommerfeld sugirió que los electrones en los metales se encuentran en una disposición cuántica en la que los niveles de baja energía disponibles para los electrones se hallan casi completamente ocupados.
En el mismo año, el físico suizo estadounidense Félix Bloch, y más tarde el físico francés Louis Brillouin, aplicaron esta idea en la hoy aceptada "teoría de la banda" para los enlaces en los sólidos metálicos.
De acuerdo con dicha teoría, todo átomo de metal tiene únicamente un número limitado de electrones de valencia con los que se unen a los átomos vecinos. Por ello se requiere un amplio reparto de electrones entre los átomos individuales. El reparto de electrones se consigue por la superposición de orbitales atómicos de energía equivalente con los átomos adyacentes.
La conductividad termica
La teoría de Sommerfeld de la conducción eléctrica y térmica
Los cuerpos de algunas sustancias tienen la propiedad de conducir el calor o la electricidad. Los que tienen esa propiedad se llaman conductores; los que no, aisladores. Estas propiedades son mensurables y sus medidas se llaman, respectivamente, conductividad eléctrica y conductividad térmica.
En los primeros esfuerzos por explicar la estructura electrónica de los metales, los científicos esgrimieron las propiedades de la buena conductividad térmica y eléctrica para apoyar la teoría de que los metales se componen de átomos ionizados, cuyos electrones libres forman un "mar" homogéneo de carga negativa.
La atracción electrostática entre los iones positivos del metal y los electrones libres, se consideró la responsable del enlace entre los átomos del metal. Así, se pensaba que el libre movimiento de los electrones era la causa de su alta conductividad eléctrica y térmica. La principal objeción a esta teoría es que en tal caso los metales debían tener un calor específico superior al que realmente tienen.
En 1928, el físico alemán Arnold Sommerfeld sugirió que los electrones en los metales se encuentran en una disposición cuántica en la que los niveles de baja energía disponibles para los electrones se hallan casi completamente ocupados.
En el mismo año, el físico suizo estadounidense Félix Bloch, y más tarde el físico francés Louis Brillouin, aplicaron esta idea en la hoy aceptada "teoría de la banda" para los enlaces en los sólidos metálicos.
De acuerdo con dicha teoría, todo átomo de metal tiene únicamente un número limitado de electrones de valencia con los que se unen a los átomos vecinos. Por ello se requiere un amplio reparto de electrones entre los átomos individuales. El reparto de electrones se consigue por la superposición de orbitales atómicos de energía equivalente con los átomos adyacentes.
La conductividad termica
Este es muy cercano al resultado fortuitamente bueno de Drude.
El número de electrones por unidad de volumen con velocidad d^3(v) alrededor de v, viene dado por
La aproximación del tiempo de relajación para los electrones libres
El modelo de Drude permite explicar la ley de Ohm y se puede estimar, dentro del modelo, la resistencia de un conductor,
Siendo n la densidad de electrones. A partir de esta relación se puede obtener el tiempo de relajación τ, puesto que la resistividad es una magnitud medible experimentalmente. A temperatura ambiente resulta ser del orden de 10−15 − 10−14 s.
En tiempos de Drude es totalmente natural estimar la velocidad a partir del principio clásico de equipartición de la energía, lo que nos lleva a una velocidad vo de 107 cm/sg y a un camino libre medio de 1-10 °A(del orden de la distancia interatómica).
Sin embargo, medidas experimentales realizadas sobre materiales cuidadosamente preparados se pueden conseguir caminos libres medios del orden de centímetros, lo que significa que los electrones no"rebotan" en los iones como supone Drude.
Ley de Wiedemann franz
La ley de Wiedemann-Franz establece que en el caso de metales a temperaturas no demasiado bajas el cociente entre la conductividad térmica y la eléctrica es directamente proporcional a la temperatura, siendo el valor de la constante de proporcionalidad independiente del metal en particular se define el numero de lorenz L=2.45e−8 W/K2
La razón de la conductividad calorífica K a la conductividad eléctrica para la mayoría de los metales es proporcional a la temperatura T, siendo el factor de proporcionalidad L igual para todos los metales:
K/ =L*T
Esto es debido a que se supone que la parte más importante del flujo calorífico, cuando existe gradiente de temperatura T, es transportada por los electrones de conducción. El metal puede representarse en forma de una caja llena de electrones libres para los cuales son válidas las leyes de la teoría cinética de los gases. Para que el metal fuera eléctricamente neutro se consideraba que contenía también la cantidad correspondiente de partículas más pesadas (iones), cargadas positivamente, en reposo. Se suponía también que los electrones estaban distribuidos según la función de distribución de Fermi−Dirac:
f=(m/h)3 1/4_(exp[mv −Ep/KbT]+1)
En la que m es la masa de los electrones y v su velocidad.
De acuerdo con esta distribución, los electrones tienen a la temperatura T todos los valores posibles de las velocidades, con la particularidad de que, en ausencia de fuerzas exteriores, todas las direcciones de las velocidades son equiprobables y varían continuamente a causa de los choques con las partículas cargadas positivamente. No tendremos en cuenta las interacciones de un electrón con los otros en los intervalos entre choques.
Para calcular la conductividad eléctrica vamos a suponer que durante el tiempo unidad un electrón experimenta choques con una probabilidad de 1/ donde es el tiempo de relajación o tiempo de recorrido libre del electrón. En cada choque el electrón sólo varía la dirección de su velocidad. En el tiempo el electrón recorre la distancia entre dos choques, igual al recorrido libre medio:
<>=v
Si los extremos opuestos del metal se someten a una diferencia de potencial que cree en cada punto del metal un campo eléctrico de intensidad E, el electrón, bajo la acción de una fuerza F=eE tendrá entre dos choques un movimiento uniformemente acelerado. Después de cada choque la velocidad del electrón puede tener cualquier dirección, con lo que la aportación <v> a la velocidad media en la dirección del campo es:
<v>=(eE/m)
En la realidad la relación K/ resulta ser una magnitud constante sólo a temperatura ambiente y a temperaturas más altas no depende de la clase de metal ni de T. En la región intermedia esta relación depende de la clase de metal y de la temperatura, ya que la conductividad calorífica en esta región no varía tan deprisa como puede esperarse por la ley de Wiedeman−Franz. La desviación de la ley de Wiedeman−Franz se debe a que el recorrido libre medio correspondiente a la conductividad eléctrica y calorífica, en general, son distintos, y no iguales como se supone en la teoría. Son iguales con exactitud bastante grande únicamente a temperaturas altas.
El comportamiento de la conductividad calorífica es el siguiente:
K=nKb< >T/3mvf
En la fórmula anterior sólo depende de T el recorrido libre medio, que viene determinado por la dispersión de los electrones en los fonones y disminuye cuanto más denso es el gas fonónico.
A temperaturas altas (T>> h) el tiempo de relajación va como 1/T y por tanto también. Por consiguiente,
K=cte, es decir, la conductividad calorífica no depende de la temperatura.
A temperaturas bajas (T<<h) el papel más importante en la dispersión lo desempeñan los fonones con energía h"1/T3. Por eso la conductividad calorífica aumenta proporcionalmente a 1/T2.
A temperaturas más bajas, próximas a 0K, la conductividad calorífica es proporcional a la capacidad calorífica del gas electrónico, o sea, a T.
En la gráfica se observa el comportamiento de la conductividad, tal y como acabamos de describir.
Podríamos haber considerado también la conductividad calorífica condicionada por los fonones, pero es de la orden de 102 veces más pequeña y la despreciamos frente a la de los electrones.
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