En 1916, Sommerfeld perfeccionó el modelo atómico de Bohr intentando paliar los dos principales defectos de éste. Para eso introdujo dos modificaciones básicas: Órbitas cuasi-elípticas para los electrones y velocidades relativistas. En el modelo de Bohr los electrones sólo giraban en órbitas circulares. La excentricidad de la órbita dio lugar a un nuevo número cuántico: el número cuántico azimutal, que determina la forma de los orbitales, se lo representa con la letra l y toma valores que van desde 0 hasta n-1. Las órbitas con:
* l = 0 se denominarían posteriormente orbitales s o sharp
* l = 1 se denominarían 2 p o principal.
* l = 2 se denominarían d o diffuse.
* l = 3 se denominarían f o fundamental.
Para hacer coincidir las frecuencias calculadas con las experimentales, Sommerfeld postuló que el núcleo del átomo no permanece inmóvil, sino que tanto el núcleo como el electrón se mueven alrededor del centro de masas del sistema, que estará situado muy próximo al núcleo al tener este una masa varios miles de veces superior a la masa del electrón.
Para explicar el desdoblamiento de las líneas espectrales, observando al emplear espectroscopios de mejor calidad, Sommerfeld supone que las órbitas del electrón pueden ser circulares y elípticas. Introduce el número cuántico secundario o azimutal, en la actualidad llamado l, que tiene los valores 0, 1, 2,…(n-1), e indica el momento angular del electrón en la órbita en unidades de \frac {h}{2\pi}, determinando los subniveles de energía en cada nivel cuántico y la excentricidad de la órbita.
Modelo de electrones libres:
En la física del estado sólido, el modelo de electrones libres es un modelo simple para el comportamiento de los electrones de valencia en una estructura cristalina de un sólido metálico. It was developed principally by Arnold Sommerfeld who combined the classical Drude model with quantum mechanical Fermi-Dirac statistics . Fue desarrollado principalmente por Arnold Sommerfeld, quien combinó el modelo de Drude clásica con cuántica de Fermi mecánica-Dirac. Given its simplicity, it is surprisingly successful in explaining many experimental phenomena, especially Habida cuenta de su sencillez, es un éxito sorprendente para explicar muchos fenómenos experimentales, sobre todo
* la Ley de Wiedemann-Franz que se refiere la conductividad eléctrica y la conductividad térmica.
* la dependencia de la temperatura de la capacidad calorífica.
* la forma de la densidad electrónica de los Estados.
* el rango de valores de energía de enlace.
* conductividad eléctrica.
La asunción de los electrones que se mueven libremente a través de un potencial periódico debe compararse con el modelo ajustado de unión, que utiliza la simplificación del tratamiento frente a los electrones fuertemente ligados a los núcleos atómicos. (Coulomb interactions between electrons are still neglected.) The predictions of these two complementary models are reassuringly similar. (Interacciones de Coulomb entre los electrones siguen desatendidas.) Las predicciones de estos dos modelos complementarios son la warfarina. Taking into account the specificities of the potential in a real, three-dimensional crystal lattice leads to more complicated dispersion relations and to band theory . Teniendo en cuenta las especificidades de las posibilidades de una verdadera red cristalina de tres dimensiones conduce a una mayor dispersión de las relaciones complicadas y de la teoría de la banda. In fact, the Bethe-Sommerfeld theory generalizes the thermodynamics of free-electron systems also in these respects. De hecho, la teoría de Bethe-Sommerfeld, generaliza la termodinámica de los sistemas de electrones libres, también en estos aspectos.
Teorema de Bloch:
Picard demostró (en 1879) que las funciones enteras no constantes tienen la
propiedad de tomar todos los valores del plano complejo salvo, eventualmente,
uno de ellos. Su demostración se ha ido simpli.cando con el tiempo; el primero
en hacerla más sencilla fue Bloch (1925). Las restricciones que aparecen en
el enunciado corresponden, como se comprobará después de su demostración,
a meras normalizaciones. (Y dicho sea de paso, no hay la más mínima idea
subyacente en esta demostración de cuáles son sus claves.)
Distribución de Fermi
La estadística de Fermi-Dirac es la forma de contar estados de ocupación de forma estadística en un sistema de fermiones. Forma parte de la Mecánica Estadística. Y tiene aplicacines sobre todo en la Física del estado sólido.
la distribución de fermi viene dada por :
Donde
ni el número promedio de partículas en el estado de energía εi.gi es la degeneración el estado i-ésimoεi es la energía en el estado i-ésimoμ es el potencial químicoT es la temperaturakB la constante de BoltzmannInterpretación Física
Para bajas temperaturas, la distribución de fermi es una función escalón que vale 1 si ε < μ y 0 si ε > μ. Esto quiere decir que las partículas van colocando desde el nivel más bajo de energía hacia arriba debido al Principio de exclusión de Pauli hasta que se hayan puesto todas las partículas. La energía del último nivel ocupado se denomina energía de Fermi y la temperatura a la que corresponde esta energía mediante εf = kBTf temperatura de Fermi.
Se da la circunstancia de que la temperatura de Fermi de la mayoría de metales reales es enorme (del orden de 10000 Kelvin), por tanto la aproximación de decir que la distribución de Fermi-Dirac sigue siendo un escalón hasta temperatura ambiente es válida con bastante precisión.
La distribución de Fermi-Dirac tiene importancia capital en el estudio de gases de fermiones y en particular en el estudio de los electrones libres en un metal.
La superficie de Fermi del electrón libre
a) La interacción del electrón con el potencial periódico del cristal causa la aparición de saltos de energía en las fronteras de zona
b) La superficie de Fermi interseca las fronteras de zona perpendicularmente
c) El potencial cristalino redondea las esquinas puntiagudas en las superficies de Fermi
d) El volumen total encerrado por la superficie de Fermi depende solo de la concentración electrónica y no de los detalles de la interacción con la red
La densidad de estados:
La Teoría del Funcional de la Densidad (DFT en sus siglas en inglés) es una formulación alternativa de la mecánica cuántica en la que la magnitud básica es la densidad y no la función de ondas de las sustancias. La ventaja es que la densidad es una magnitud mucho más simple que dicha función de ondas y por lo tanto más fácil de calcular. La desventaja es que no se conocen de manera exacta las ecuaciones de la teoría del funcional de la densidad y debemos aproximarlas.
Se aplica principalmente a la descripción del comportamiento de los electrones tanto en química como en física de la materia condensada, donde el objeto central es la densidad electrónica. Aunque también ha sido aplicada a otras áreas como la física nuclear.
La Teoría del Funcional de la Densidad (DFT en sus siglas en inglés) es una formulación alternativa de la mecánica cuántica en la que la magnitud básica es la densidad y no la función de ondas de las sustancias. La ventaja es que la densidad es una magnitud mucho más simple que dicha función de ondas y por lo tanto más fácil de calcular. La desventaja es que no se conocen de manera exacta las ecuaciones de la teoría del funcional de la densidad y debemos aproximarlas.
Se aplica principalmente a la descripción del comportamiento de los electrones tanto en química como en física de la materia condensada, donde el objeto central es la densidad electrónica. Aunque también ha sido aplicada a otras áreas como la física nuclear.
Referencias
http://www.mitecnologico.com/Main/DistribucionFermiDirac
http://www.fis.puc.cl/~jmejia/docencia/solidos/cap4.pdf
http://www.fis.puc.cl/~jmejia/docencia/solidos/cap4.pdf
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