Teorema de bloch, Distribución de fermi, densidad de estados
Teorema de Bloch:
Picard demostró (en 1879) que las funciones enteras no constantes tienen la
propiedad de tomar todos los valores del plano complejo salvo, eventualmente,
uno de ellos. Su demostración se ha ido simpli.cando con el tiempo; el primero
en hacerla más sencilla fue Bloch (1925). Las restricciones que aparecen en
el enunciado corresponden, como se comprobará después de su demostración,
a meras normalizaciones. (Y dicho sea de paso, no hay la más mínima idea
subyacente en esta demostración de cuáles son sus claves.)Distribución de Fermi
Donde
ni el número promedio de partículas en el estado de energía εi.
gi es la degeneración el estado i-ésimo
εi es la energía en el estado i-ésimo
μ es el potencial químico
T es la temperatura
kB la constante de Boltzmann
Interpretación FísicaPara bajas temperaturas, la distribución de fermi es una función escalón que vale 1 si ε < μ y 0 si ε > μ. Esto quiere decir que las partículas van colocando desde el nivel más bajo de energía hacia arriba debido al Principio de exclusión de Pauli hasta que se hayan puesto todas las partículas. La energía del último nivel ocupado se denomina energía de Fermi y la temperatura a la que corresponde esta energía mediante εf = kBTf temperatura de Fermi.
Se da la circunstancia de que la temperatura de Fermi de la mayoría de metales reales es enorme (del orden de 10000 Kelvin), por tanto la aproximación de decir que la distribución de Fermi-Dirac sigue siendo un escalón hasta temperatura ambiente es válida con bastante precisión.
La distribución de Fermi-Dirac tiene importancia capital en el estudio de gases de fermiones y en particular en el estudio de los electrones libres en un metal.
La superficie de Fermi del electrón libre
a) La interacción del electrón con el potencial periódico del cristal causa la aparición de saltos de energía en las fronteras de zona
b) La superficie de Fermi interseca las fronteras de zona perpendicularmente
c) El potencial cristalino redondea las esquinas puntiagudas en las superficies de Fermi
d) El volumen total encerrado por la superficie de Fermi depende solo de la concentración electrónica y no de los detalles de la interacción con la red
La densidad de estados:
La Teoría del Funcional de la Densidad (DFT en sus siglas en inglés) es una formulación alternativa de la mecánica cuántica en la que la magnitud básica es la densidad y no la función de ondas de las sustancias. La ventaja es que la densidad es una magnitud mucho más simple que dicha función de ondas y por lo tanto más fácil de calcular. La desventaja es que no se conocen de manera exacta las ecuaciones de la teoría del funcional de la densidad y debemos aproximarlas.
Se aplica principalmente a la descripción del comportamiento de los electrones tanto en química como en física de la materia condensada, donde el objeto central es la densidad electrónica. Aunque también ha sido aplicada a otras áreas como la física nuclear.
La Teoría del Funcional de la Densidad (DFT en sus siglas en inglés) es una formulación alternativa de la mecánica cuántica en la que la magnitud básica es la densidad y no la función de ondas de las sustancias. La ventaja es que la densidad es una magnitud mucho más simple que dicha función de ondas y por lo tanto más fácil de calcular. La desventaja es que no se conocen de manera exacta las ecuaciones de la teoría del funcional de la densidad y debemos aproximarlas.
Se aplica principalmente a la descripción del comportamiento de los electrones tanto en química como en física de la materia condensada, donde el objeto central es la densidad electrónica. Aunque también ha sido aplicada a otras áreas como la física nuclear.
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